Question

已知雙曲線設過點的直線的方向向量．

   （1）當直線與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線的方程及與m 距離；

   （2）證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線的距離為

 

Answer 1

【答案】

（1），

（2）證明見解析。

【解析】（1）雙曲線C的漸近線 

的方程 

與m的距離    …………5分

   （2）證法一：設過原點且平行于的直線

則直線與b的距離，

當 

又雙曲線C的漸近為  

雙曲線C右支在直線D的右下方

       ∴雙曲線右支上的任意點到的距離大于

       故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線的距離為  …………14分

       證法二：假設雙曲線C右支上存在點到直線的距離為

       則

       由（1）得    11分

       設

       當時，   

        

       將代入（2）得           （*）

       ，     

       方程（*）不存在正根，即假設不成立，

       故在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線的距離為  …………14分