Question

（2013•海淀區二模）已知函數f（x）=lnx，g（x）=-

x

a

（a＞0）
（Ⅰ）當a=1時，若曲線y=f（x）在點M（x₀，f（x₀））處的切線與曲線y=g（x）在點P （x₀，g（x₀））處的切線平行，求實數x₀的值；
（Ⅱ）若?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x） 

3

2

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把a=1導入解析式，并求出f′（x）和g′（x），根據切線平行對應的斜率相等列出方程，求出x₀的值；
（II）根據條件設F（x）=f（x）-g（x）-

3

2

，再把條件進行轉化，求出對應的解析式和導數，求出臨界點，并根據導數與函數單調性的關系列出表格，再對a進行分類討論，分別判斷出函數的單調性，再求出對應的最小值，列出不等式求出a的范圍．

解答：解：（I）把a=1代入得，g(x)=-

1

x

，
則f′(x)=

1

x

，g′(x)=

1

x2

∵f（x）在點M （x₀，f（x₀））處的切線與g（x）在點P （x₀，g（x₀））處的切線平行，
∴

1

x0

=

1

x02

，解得x₀=1，
所以x₀=1，
（II）由題意設F（x）=f（x）-g（x）-

3

2

=lnx+

a

x

-

3

2

，
∵?x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x）+

3

2

，
∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，
則F′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，由F′（x）=0得，x=a，
F（x）、F′（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	遞減	極大值	遞增

當a≥e時，函數F′（x）在（0，e）上單調遞減，F（e）為最小值，
∴F（e）=1+

a

e

-

3

2

≥0，得a≥

e

2

，∴a≥e
當a＜e時，函數F（x）在（0，a）上單調遞減，在（a，e）上單調遞增，
則F（a）為最小值，所以F（a）=lna+

a

a

-

3

2

≥0，得a≥

e

，
∴

e

≤a＜e                                      
綜上，a≥

e

．

點評：本題考查了導數的幾何意義，導數與函數單調性的關系，以及恒成立問題的轉化，分類討論思想，考查了分析問題和解決問題的能力．