Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂）（a＞0），試證明：[f（x₁）+f（x₂）]＞f（）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②對任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x=-1代入得到關于a、b、c的關系式，再由△確定零點個數．
（2）作差法：只需證明[f（x₁）+f（x₂）]-f（）＞0即可，作差后化簡根據條件即可證明；
（3）假設存在a，b，c∈R使得條件成立，由①可知函數f（x）的對稱軸是x=-1，且最小值為0，由此可知a=c；由②知將x=1代入可求的a=c=，b=，最后驗證即可．
解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，b=a+c，
∵△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²，
當a=c時△=0，函數f（x）有一個零點；
當a≠c時，△＞0，函數f（x）有兩個零點．
（2）[f（x₁）+f（x₂）]-f（）=（+）-[+c]
==，
因為a＞0，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），
所以＞0，故[f（x₁）+f（x₂）]＞f（）；
（3）假設a，b，c存在，由①知拋物線的對稱軸為x=-1，且f（x）_min=0，
∴-=-1，=0⇒b=2a，b²=4ac⇒4a²=4ac⇒a=c，
由②知對?x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）²，
令x=1得0≤f（1）-1≤0⇒f（1）-1=0⇒f（1）=1⇒a+b+c=1，
由解得a=c=，b=，
當a=c=，b=時，f（x）=x2+x+=（x+1）2，其頂點為（-1，0）滿足條件①，
又f（x）-x=（x-1）2，所以對?x∈R，都有0≤f（x）-x≤（x-1）2，滿足條件②．
∴存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足條件①、②．
點評：本題考查函數的零點、不等式的證明及函數恒成立問題，考查綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性較強，難度較大．