Question

一個圓環直徑為2MD∥APm，通過鐵絲BC、CA₁、CA₂、CA₃（A₁、A₂、A₃是圓上三等分點）懸掛在B處，圓環呈水平狀態并距天花板2m，如圖所示．
（1）設BC長為x（m），鐵絲總長為y，試寫出y關于x的函數解析式，并寫出函數定義域；
（2）當x取多長時，鐵絲總長y有最小值，并求此最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題結構圖可看成圓錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側棱，圓錐的高為2-x，利用圓錐的性質可得到側棱即母線的長，進而能得到y與x的關系，需要注意實際問題中自變量x的取值范圍．
（2）在（1）中結論的基礎上求函數的最值可利用導數來解決，另外還是要注意實際問題，極值點是否在定義域內取到，從而得到最值．
解答：解：（1）由題意C，A₁，A₂，A₃四點構成一個正三棱錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側棱，…（2分）
三棱錐的側棱，…（4分）
于是有（0＜x＜2）…（6分）
（2）對y求導得．…（8分）
令y′=0得9（2-x）²=（2-x）²+2，解得或（舍），…（10分）
當
故當時，即BC=1.5m時，y取得最小值為6m．…（14分）
點評：本題是一道函數應用問題，要注意問題中的自變量x，即定義域的作用，本題考查了圓錐這一簡單幾何體的結構特征，綜合考查了函數的導數以及利用導數求解函數的最值問題．