Question

一個(gè)圓環(huán)直徑為2MD∥APm，通過(guò)鐵絲BC、CA₁、CA₂、CA₃（A₁、A₂、A₃是圓上三等分點(diǎn)）懸掛在B處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2m，如圖所示．
（1）設(shè)BC長(zhǎng)為x（m），鐵絲總長(zhǎng)為y，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)定義域；
（2）當(dāng)x取多長(zhǎng)時(shí)，鐵絲總長(zhǎng)y有最小值，并求此最小值．

Answer 1

分析：（1）本題結(jié)構(gòu)圖可看成圓錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側(cè)棱，圓錐的高為2-x，利用圓錐的性質(zhì)可得到側(cè)棱即母線的長(zhǎng)，進(jìn)而能得到y(tǒng)與x的關(guān)系，需要注意實(shí)際問(wèn)題中自變量x的取值范圍．
（2）在（1）中結(jié)論的基礎(chǔ)上求函數(shù)的最值可利用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決，另外還是要注意實(shí)際問(wèn)題，極值點(diǎn)是否在定義域內(nèi)取到，從而得到最值．

解答：解：（1）由題意C，A₁，A₂，A₃四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三棱錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側(cè)棱，…（2分）
三棱錐的側(cè)棱CA1=

(2-x)2+2

，…（4分）
于是有y=x+3

(2-x)2+2．

（0＜x＜2）…（6分）
（2）對(duì)y求導(dǎo)得y′=1-

3(2-x)

(2-x)2+2

．…（8分）
令y′=0得9（2-x）²=（2-x）²+2，解得x=

3

2

或x=

5

2

（舍），…（10分）
當(dāng)x∈(0，

3

2

)時(shí)，y′＜0，當(dāng)x∈(

3

2

，2)時(shí)，y′＞0
故當(dāng)x=

3

2

時(shí)，即BC=1.5m時(shí)，y取得最小值為6m．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題，要注意問(wèn)題中的自變量x，即定義域的作用，本題考查了圓錐這一簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，綜合考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問(wèn)題．