Question

已知二次函數f（x）=（lga）x²+2x+4lga的最小值為3，求（log5）²+log_a2•log_a50得值．

Answer 1

分析：由二次函數有最小值判斷出lga＞0和f(-

1

lga

)=3，代入解析式化簡求出lga的值，再求出a的值，再代入所求的式子，利用對數的運算化簡求值．

解答：解：∵f（x）=（lga）x²+2x+4lga的最小值為3，
∴lga＞0，f（x）_min=3，
即f(-

1

lga

)=lga×

1

lg2a

+2×(-

1

lga

)+4lga=4lga-

1

lga

=3，
則4lg²a-3lga-1=0，
解得lga=1或lga=-

1

4

（舍去），
∴lga=1，解得a=10，
∴（

log

5 a

）²+log_a2•log_a50=（lg5）²+lg2•lg50
=（lg5）²+lg2•（lg5+1）
=lg5（lg5+lg2）+lg2
=lg5+lg2=1．

點評：本題考查了二次函數的性質，以及對數的運算性質應用，屬于基礎題．