Question

已知函數f（x）=-x|x-a|+1（x∈R）．
（Ⅰ）當a=1時，求使f（x）=x成立的x的值；
（Ⅱ）當a∈（0，3），求函數y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）對于給定的正數a，有一個最大的正數M（a），使x∈[0，M（a）]時，都有|f（x）|≤2，試求出這個正數M（a），并求它的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,二次函數在閉區間上的最值,函數的零點

專題：壓軸題,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-x|x-1|+1=

-x2+x+1，x≥1 x2-x+1，x＜1

，依題意，可得

x≥1 -x2+x+1=x

①，或

x2-x+1=x x＜1

 ②．分別解之即可；
（Ⅱ）當a∈（0，3），作出函數y=f（x）的圖象，分0＜a≤1、1＜a＜2與2≤a＜3三類討論，數形結合，即可求得函數y=f（x）在x∈[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）依題意，可將問題轉化為在給定區間上，f（x）≥-2恒成立即可．由f（

a

2

）=1-

a2

4

，分兩種情況討論，當1-

a2

4

≤-2時，M（a）是方程x²-ax+1=-2的較小根；
當1-

a2

4

＞-2時，M（a）是方程-x²+ax+1=-2的較大根，分別解答后，取并即可求得M（a）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=-x|x-1|+1=

-x2+x+1，x≥1 x2-x+1，x＜1

，
由f（x）=x可得

x≥1 -x2+x+1=x

①，或

x2-x+1=x x＜1

 ②．
解①求得x=1，解②求得 x無解，
綜上可得，x=1．
（Ⅱ）f（x）=

-x2+ax+1，x≥a x2-ax+1，x＜a

，作出示意圖，
注意到幾個關鍵點的值：
f（0）=f（a）=1，f（

a

2

）=1-

a2

4

，
當0＜a≤1時，f（x）在[1，2]上單調遞減，函數的最大值為f（1）=a；
1＜a＜2時，f（x）在[1，a]上單調遞增，在[a，2]上單調遞減，
函數的最大值為f（a）=1；
當2≤a＜3時，f（x）在[1，

a

2

]上單調遞減，在[

a

2

，2]上單調第增，
且直線x=

a

2

是函數的對稱軸，由于（2-

a

2

）-（

a

2

-1）=3-a＞0，
故函數的最大值為f（2）=5-2a．
綜上可得，f（x）_max=

a，0＜a≤1 1，1＜a＜2 5-2a，2≤a＜3

．
（Ⅲ）由于當x＞0時，函數f（x）的最大值為1，故問題轉化為在給定區間上，f（x）≥-2恒成立即可．
由f（

a

2

）=1-

a2

4

，分兩種情況討論，當1-

a2

4

≤-2時，M（a）是方程x²-ax+1=-2的較小根．
即a≥2

3

時，M（a）=

a- a2-12

2

=

6

a+ a2-12

∈（0，

3

]．
當1-

a2

4

＞-2時，M（a）是方程-x²+ax+1=-2的較大根．
即0＜a＜2

3

時，M（a）=

a+ a2+12

2

∈（

3

，

3

+6）．
綜上M（a）=

a- a2-12 2 (a≥2 3 ) a+ a2+12 2 (0＜a＜2 3 )

，且M（a）∈（0，

3

+

6

）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查二次函數在閉區間上的最值，綜合考查數形結合思想、分類討論思想、等價轉化思想，考查邏輯思維、抽象思維、創新思維的綜合運用，是難題．