Question

如圖，已知△OAP的面積為S，

OA

•

AP

=1．設|

OA

|=c(c≥2)，S=

3

4

c，并且以O為中心、A為焦點的橢圓經過點P．當|

OP

|取得最小值時，則此橢圓的方程為

 

．

Answer 1

分析：先以O為原點，

OF

所在直線為x軸建立直角坐標系，|

OF

|=c，P點坐標為（x₀，y₀），則

1

2

•|

OF

|•|y₀|=

1

2

×

4

3

m×|y0|=m，即 |y0|=

3

2

．因為

OF

=（c，0），

FP

=（x₀-c，y₀），

OF

•

FP

=1，可得 |

OP

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

，設 f(c)=c+

1

c

，判斷知f（c）在[2，+∞）上是增函數；所以當c=2時，f（c）為最小，從而 |

OP

|為最小，此時P（

5

2

，

3

2

），最終得到答案．

解答：解：如圖，以O為原點，

OF

所在直線為x軸建立直角坐標系
設|

OA

|=c(c≥2)，S=

3

4

c，
∴

1

2

•|

OF

|•|y₀|=

1

2

×

4

3

m×|y0|=m，∴|y0|=

3

2

∵

OF

=（c，0），

FP

=（x₀-c，y₀），

OF

•

FP

=1
∴c（x₀-c）=1，∴x0=c+

1

c

∴|

OP

|=

x02+y02

=

(c+ 1 c )2+ 9 4

設 f(c)=c+

1

c

，當c≥2時，任取c₂＞c₁≥2
有 f(c2)-f(c1)=c2+

1

c2

-c1-

1

c1

=(c2-c1)+

c1-c2

c1c2

=(c2-c1)(1-

1

c1c2

)
當c₂＞c₁≥2時，

1

c1c2

＜1，(1-

1

c1c2

)＞0，c2-c1＞0
∴f（c₂）-f（c₁）＞0，∴f（c）在[2，+∞）上是增函數
∴當c=2時，f（c）為最小，從而 |

OP

|為最小，此時P（

5

2

，

3

2

）
設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

a2-b2=4 25 4a2 + 9 4b2 =1

∴a²=10，b²=6
故橢圓的方程為

x2

10

+

y2

6

=1．
故答案為：

x2

10

+

y2

6

=1．

點評：本題主要考查向量的數量積運算和橢圓的標準方程的求法，解答的關鍵對向量的運算要相當熟悉，同時要善于利用函數思想求最值．