Question

某市一次全市高中男生身高統計調查數據顯示：全市100 000名男生的身高服從正態分布N（168，16）．現從某學校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發現被測學生身高全部介于160cm和184cm之間，將測量結果按如下方式分成6組：第一組[160，164]，第二組[164，168]，…，第6組[180，184]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）試評估該校高三年級男生在全市高中男生中的平均身高狀況；
（Ⅱ）求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數；
（Ⅲ）在這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，該2人中身高排名（從高到低）在全市前130名的人數記為ξ，求ξ的數學期望．
參考數據：
若ξ-N（μ+?²）．則
P（μ-?＜ξ≤μ+?）=0.6826，
P（μ-2?＜ξ≤μ+2?））=0.9544，
P（μ-3?＜ξ≤μ+3?）=0.9974．

Answer 1

解：（Ⅰ）由直方圖，經過計算該校高三年級男生平均身高為
（162×+166×+170×+174×+178×+182×）×4=168.72，
高于全市的平均值168（或者：經過計算該校高三年級男生平均身高為168.72，比較接近全市的平均值168）．…（4分）
（Ⅱ）由頻率分布直方圖知，后三組頻率為（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人數為0.2×50=10，即這50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人數為10人．…（6分）
（Ⅲ）∵P（168-3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，
∴P（ξ≥180）==0.0013，0.0013×100 000=130．
所以，全市前130名的身高在180 cm以上，這50人中180 cm以上的有2人．
隨機變量ξ可取0，1，2，于是
P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，
∴Eξ=0×+1×+2×=．…（12分）
分析：（I）高三男生的平均身高用組中值×頻率，即可得到結論；
（II）首先理解頻數分布直方圖橫縱軸表示的意義，橫軸表示身高，縱軸表示頻數，即：每組中包含個體的個數．我們可以依據頻數分布直方圖，了解數據的分布情況，知道每段所占的比例，從而求出求這50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人數．
（III）先根據正態分布的規律求出全市前130名的身高在180 cm以上，這50人中180 cm以上的有2人，確定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列與期望．
點評：此題主要考查了正態分布，考查隨機變量的定義及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正確理解頻數分布直方圖橫縱軸表示的意義，由頻數分布直方圖可以得到什么結論是學習中需要掌握的關鍵．