Question

如圖，P是以F₁、F₂為焦點(diǎn)的雙曲線C：=1上的一點(diǎn).已知=0，且.

（1）求雙曲線的離心率e；

（2）過點(diǎn)P作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于P₁，P₂兩點(diǎn)，若

=0，求雙曲線C的方程.

Answer 1

解：（1）由=0得，即△F₁PF₂為直角三角形.

設(shè)，則=2r，于是有（2r）²+r²=4c²和2r-r=2a5×（2a）²=4c²e=.

（2）設(shè)P₁（x₁y₁），P₂（x₂，y₂）,

則=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂-4x₁x₂=x₁x₂=.①

由=0,得

∵點(diǎn)P（x，y）在雙曲線=1上，

∴=1，

又b²=4a².

∴上式為=1.簡化得x₁x₂=a².②

由①②得a²=2，從而得b²=8.故所求雙曲線方程為=1.