Question

4、不等式選講
設(shè)x，y，z為正數(shù)，證明：2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）．

Answer 1

分析：先將2（x³+y³+z³）分解成（x³+y³）+（z³+x³）+（y³+z³），再對(duì)每一組利用基本不等式進(jìn)行放縮即得．

解答：證明：因?yàn)閤²+y²≥2xy≥0（2分）
所以x³+y³=（x+y）（x²-xy+y²）≥xy（x+y）（4分）
同理y³+z³≥yz（y+z），z³+x³≥zx（z+x）（8分）
三式相加即可得2（x³+y³+z³）≥xy（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）
又因?yàn)閤y（x+y）+yz（y+z）+zx（z+x）=x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）
所以2（x³+y³+z³）≥x²（y+z）+y²（x+z）+z²（x+y）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的證明，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法．