Question

設m∈R，函數f（x）=

1

3

x³-mx在x=1處取得極值．求：
（Ⅰ）m的值；
（Ⅱ）函數y=f（x）在區間[-3，  

3

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數的解析式，對函數求導，f′（1）=0，得到關于m的關系式，解出即可；
（2）對函數求導，寫出函數的導函數等于0的x的值，列表表示出在各個區間上的導函數和函數的情況，求出極值，把極值同端點處的值進行比較得到結果．

解答：解：（1）由于函數f（x）=

1

3

x³-mx，則f′（x）=x²-m        
由f′（1）=0，即x²-m=0   
解得m=1，經檢驗，m=1符合題意
所以m=1
（2）由（1）得f′（x）=x²-1，
列表

x	[-3，-1）	-1	（-1，1）	1	（1， 3 2 ]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

且f（-1）=

2

3

，f（1）=-

2

3

，f（-3）=-7，f（

3

2

）=-

3

8

，
所以當x∈[-3，

3

2

]時，f（x）max=f（-1）=

2

3

，f（x）min=f（-3）=-7

點評：本題考查函數的最值問題，解題的關鍵是寫出函數的極值和函數在兩個端點處的值，把這些值進行比較，得到最大值和最小值．