Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-alnx（a∈R）
（1）若a=2，求f（x）的單調區間和極值．
（2）若函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則可得f′（x），令f′（x）=0，再驗證是否滿足取得極值的條件即可；
（2）函數f（x）在（1，+∞）上是增函數?f′(x)=x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立?a≤（x²）_min在（1，+∞）上恒成立，求出函數y=x²的最小值即可．

解答：解：f′(x)=x-

a

x

(x＞0)．
（1）當a=2時，f′(x)=

x2-2

x

=

(x+ 2 )(x- 2 )

x

．
令f′（x）=0，解得x=

2

．
當 x∈（0，

2

）時，f'（x）＜0，f（x）是減函數，
當x∈（

2

，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）是增函數．
∴當 x=

2

是 f （x） 是極小值點，f （

2

）=1-ln

2

．
（2）函數f（x）在（1，+∞）上是增函數?f′(x)=x-

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立?a≤（x²）_min在（1，+∞）上恒成立．
∵函數y=x²在（1，+∞）上滿足y＞1．
∴a≤1．

點評：熟練掌握利用導數研究函數的單調性、極值與最值、恒成立問題的等價轉化等是解題的關鍵．