Question

（本題滿分10分）
如圖，已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB＝2，側(cè)棱BB₁的長為4，過點(diǎn)B作B₁C的垂線交側(cè)棱CC₁于點(diǎn)E，交B₁C于點(diǎn)F，

⑴求證：A₁C⊥平面BDE；
⑵求A₁B與平面BDE所成角的正弦值。

Answer 1

⑴由三垂線定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE
⑵

試題分析：⑴由三垂線定理可得，A₁C⊥BD，A₁C⊥BEA₁C⊥平面BDE
⑵以DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸，建立坐標(biāo)系，則，
，∴，∴
設(shè)A₁C平面BDE＝K，由⑴可知，∠A₁BK為A₁B與平面BDE所成角，
∴
點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算。在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法”。本題解法利用了向量，簡化了證明過程。