Question

已知直線l的方向向量為

a

=（1，1），且過直線l₁：2x+y+1=0和直線l₂：x-2y+3=0的交點．
（1）求直線l的方程；
（2）若點P（x₀，y₀）是曲線y=x²-lnx上任意一點，求點P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出兩直線的交點，然后根據 直線的方向向量可求直線的斜率，即可求解直線方程
（2）當曲線上過點P的切線和直線y=x+2平行時，點P到直線y=x-2的距離最小．求出曲線對應的函數的導數，令導數值等于1，可得且點的坐標，此切點到直線y=x-2的距離即為所求．

解答：解：（1）由

2x+y+1=0 x-2y+3=0

可得

x=-1 y=1

由題意可得，直線l的斜率k=1，且過（-1，1）
∴直線l的方程為y-1=x+1即x-y+2=0
（2）當過點P的切線和直線y=x+2平行時，點P到直線y=x+2的距離最小．
由題意可得，y′=2x-

1

x

=1，
∴x=1，或 x=-

1

2

（舍去）
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x+2平行的切線經過的切點坐標（1，1），
點（1，1）到直線y=x+2的距離d=

|1-1+2|

2

=

2

故點P到直線y=x-2的最小距離為

2

點評：本題考查點到直線的距離公式的應用，函數的導數的求法及導數的意義，體現了轉化的數學思想．