Question

（理科）已知直線l的方向向量為（-1，0，1），平面α的法向量為（2，-2，1），那么直線l與平面α所成角的大小為

arcsin

2

6

．（用反三角表示）

Answer 1

分析：直接利用直線與平面所成的角的向量計算公式（cos＜

m

，

n

＞=

m  • n

| m || n |

，其中

m

為直線的方向向量，

n

為平面α的法向量）求出＜

m

，

n

＞，再根據cos＜

m

，

n

＞的正負即可求出直線l與平面α所成的角．

解答：解：設直線l的方向向量為

m

=（-1，0，1），平面α的法向量為

n

=（2，-2，1）
∴cos＜

m

，

n

＞=

m  • n

| m || n |

=

(-1，0，1)•(2，-2，1)

2 × 9

=-

2

6

＜0
∴直線l與平面α所成角β=＜

m

，

n

＞-

π

2

∴sinβ=-cos＜

m

，

n

＞=

2

6

∴β=arcsin

2

6

即直線l與平面α所成角arcsin

2

6

故答案為arcsin

2

6

點評：本題主要考查了利用空間向量求直線與平面的夾角．解題的關鍵是要要熟記直線與平面所成的角的向量計算公式（cos＜

m

，

n

＞=

m  • n

| m || n |

，其中

m

為直線的方向向量，

n

為平面α的法向量）但要注意的是直線與平面所成的角與cos＜

m

，

n

＞的正負有關（若cos＜

m

，

n

＞＞0則直線與平面所成的角為

π

2

-＜

m

，

n

＞，若cos＜

m

，

n

＞＜0則直線與平面所成的角為＜

m

，

n

＞-

π

2

！