Question

如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側面AA₁B₁B為正方形，側面BB₁C₁C為菱形，∠CBB₁＝60°，AB⊥B₁C.
(1)求證：平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C；
(2)若AB＝2，求三棱柱ABC—A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

（1）見解析   （2）2

(1)由側面AA₁B₁B為正方形，知AB⊥BB₁.
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C＝B₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面AA₁B₁B，所以平面AA₁B₁B⊥平面BB₁C₁C.
(2)由題意，CB＝CB₁，設O是BB₁的中點，連接CO，則CO⊥BB₁.

由(1)知，CO⊥平面AA₁B₁B，且CO＝BC＝AB＝.
連結AB₁，則VC—ABB₁＝S△ABB₁·CO＝AB²·CO＝.
因為VB₁—ABC＝VC—ABB₁＝VABC—A₁B₁C₁＝，
故三棱柱ABC—A₁B₁C₁的體積VABC—A₁B₁C₁＝2.