Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點的個數；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：①f（-1+x）=f（-1-x）且f（x）≥0；
②對0≤f（x）-x≤

1

2

（x-1）²．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過對二次函數對應方程的判別式進行分析判斷方程根的個數，從而得到零點的個數；
（2）存在性問題的一般處理方法就是假設存在，然后根據題設條件求得參數的值．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，
即b=a+c，
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
當a=c時，△=0，函數f（x）有一個零點；
當a≠c時，△＞0，函數f（x）有兩個零點．
（2）假設存在a，b，c滿足題設，由條件①知拋物線的對稱軸為x=-1，
且f（x）min=0；
∴

- b 2a =-1 △=b2-4ac=0

，
即

b=2a b2=4ac

，解得a=c．
在條件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，
∴f（1）=1，
即a+b+c=1，
由

a+b+c=1 b=2a a=c

，
解得a=c=

1

4

，b=

1

2

成立．
∴存在a=c=

1

4

，b=

1

2

，使f（x）同時滿足條件①②．

點評：本題考查函數零點個數與方程根的個數問題，以及存在性問題的處理方式，利用二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．