Question

（本小題滿分12分）已知函數，其中.

（Ⅰ）若是的極值點，求的值；

（Ⅱ）求的單調區間；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍 .

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）時，符合題意.

（Ⅱ）綜上，當時，的增區間是，減區間是；

當時，的增區間是，減區間是和；

當時，的減區間是；

當時，的增區間是；減區間是和. 

（Ⅲ）在上的最大值是時，的取值范圍是.

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。根據導數的符號判定函數的單調性和最值問題。

（1）.   依題意，令，解得 .

（2）對于參數a進行分類討論得到不同情況下的單調性質的證明

（3）在第二問的基礎上，根據單調性得到最值。

（Ⅰ）解：.   依題意，令，解得 .  經檢驗，時，符合題意.              ……4分   

（Ⅱ）解：① 當時，.

故的單調增區間是；單調減區間是.

② 當時，令，得，或.

當時，與的情況如下：

	↘		↗		↘

所以，的單調增區間是；單調減區間是和.

當時，的單調減區間是.                  

當時，，與的情況如下：

	↘		↗		↘

所以，的單調增區間是；單調減區間是和.

③ 當時，的單調增區間是；單調減區間是.  

綜上，當時，的增區間是，減區間是；

當時，的增區間是，減區間是和；

當時，的減區間是；

當時，的增區間是；減區間是和.   ……10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知 時，在上單調遞增，由，知不合題意.

當時，在的最大值是，

由，知不合題意. 

當時，在單調遞減，

可得在上的最大值是，符合題意.  

所以，在上的最大值是時，的取值范圍是. …………12分