Question

如圖，四棱錐的底面是正方形，，點在棱上.

（1）求證：平面平面；
（2）當，且時，確定點的位置，即求出的值.
（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點，求二面角A-EF-D的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；(2) ；(3).

試題分析：（1）證面面垂直，先證明線面垂直.那么證哪條線垂直哪個面？因為ABCD是正方形， .又由平面可得，所以可證平面，從而使問題得證.
(2)設AC交BD=O.由（1）可得平面，所以即為三棱錐的高.由條件易得.
因為，所以可求出底面的面積.又因為PD=2，所以可求出點E到邊PD的距離，從而可確定點E的位置.
(3)在本題中作二面角的平面角較麻煩，故考慮建立空間直角坐標系，然后用空間向量求解.
試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是正方形ABCD，.
平面,平面，所以.
，所以平面.
因為平面，所以平面平面.
(2) 設.,.

在直角三角形ADB中，DB=PD=2，則PB=
中斜邊PB的高h=

即E為PB的中點.
(3) 連接OE，因為E為PB的中點，所以平面.以O為坐標原點，OC為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標系.
則A(1,0,0)，  E(0,0,1) ，F(0,-1,) ， D(0,-1,0).
平面EFD的法向量為
設為面AEF的法向量。

令y=1,則

所以二面角A-EF-D的余弦值為