Question

（2012•廣安二模）下列四個命題中：①a+b≥2

ab

；②sin2x+

4

sin2x

≥4；③設x，y都是正數，若

1

x

+

9

y

=1，則x+y的最小值是12；④若|x-2|＜ε，|y-2|＜ε，則|x-y|＜2ε，則其中所有真命題的個數有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：使用基本不等式時，要注意“一正，二定，三相等”，否則就不成立．另外注意使用含絕對值不等式性質的應用．

解答：解：①只有當a，b≥0，a+b≥2

ab

才成立，否則不成立；
②由基本不等式得：sin2x+

4

sin2x

≥2

sin2x× 4 sin2x

=4，當且僅當sin²x=2取等號，但是six²x=2無解，故sin2x+

4

sin2x

＞4，因此②成立．
③x+y=（x+y）×1=（x+y）×（

1

x

+

9

y

）=1+9+

y

x

+

9x

y

≥10+2

y x × 9x y

=10+2×3=16，當且僅當

y

x

=3時取等號，故（x+y）_min=16，因此③不成立．
④由含絕對值不等式的性質可得：|x-y|=|（x-?）-（y-?）|≤|x-?|+|y-?|＜?+?=2?，故④成立．
綜上可知：只有②④是真命題．
故選B．

點評：本題考查了基本不等式及含絕對值不等式性質的應用，熟練掌握以上知識（特別是等號成立的條件）是解決問題的關鍵．