Question

等差數列中，若S_m=S_n（m≠n），則S_m+n=

0

．

Answer 1

分析：先設出S_n的表達式，把m和n代入S_n的表達式后，兩式相減整理求得a（m+n）+b=0，進而代入到S_m+n=a（m+n）²+b（m+n）=（m+n）[a（m+n）+b]中，答案可得．

解答：解：數列{a_n}成等差數列的充要條件是S_n=an²+bn（其中a，b為常數），
故有

Sn=an2+bn Sm=am2+bm

兩式想減得a（m²-n²）+b（m-n）=0，
∴（m-n）[a（m+n）+b]=0，
∵m≠n，
∴a（m+n）+b=0，
∴S_m+n=a（m+n）²+b（m+n）
=（m+n）[a（m+n）+b]=0．
故答案為0．

點評：本題主要考查了等差數列的性質．解題的關鍵了利用了{a_n}成等差數列的必要條件是S_n=an²+bn．