Question

已知兩圓x²+y²=4，x²+（y-8）²=4，若直線y=

5

2

x+b在兩圓之間通過，則實數b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，如圖所示，根據圖形可知當已知直線與直線l1和l2平行，且在兩直線之間時，在兩圓之間通過，根據直線l₁與圓x²+（y-8）²=4相切，利用點到直線的距離公式求出圓心（0，8）到已知的直線的距離等于圓的半徑，列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，從而確定出直線l₁的方程；同理求出直線l₂與圓x²+y²=4相切時，b的值，確定出直線l₂的方程，即可寫出滿足題意的b的范圍．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖所示：

由圖形可知：直線y=

5

2

x+b與直線l₁和直線l₂平行且在兩直線之間時，直線y=

5

2

x+b在兩圓之間通過，
根據圓的方程x²+（y-8）²=4，得出圓心坐標為（0，8），半徑為2，
若所求直線在直線l₁位置時，與圓x²+（y-8）²=4相切，所以圓心到直線的距離為

|2b-16|

3

=2，
即2b-16=6或2b-16=-6，解得：b=5或b=11（舍去）；
根據圓的方程x²+y²=4，得出圓心坐標為（0，0），半徑為2，
若所求直線在直線l₂位置時，與圓x²+y²=4相切，所以圓心到直線的距離

|2b|

3

=2，
即2b=6或2b=-6，解得b=3或b=-3（舍去），
則滿足題意的實數b取值范圍是（3，5）．
故答案為：（3，5）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，利用了點到直線的距離公式，以及數形結合的思想，本題的思路為：根據題意畫出圖形，找出所求直線所在的特殊位置直線l₁和直線l₂，根據直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑求出相應b的值，進而得出滿足題意的b的范圍．