Question

若函數f（x）滿足：“對于區間（1，2）上的任意實數x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，則稱f（x）為優美函數．在下列四個函數中，優美函數是（　　）

• A、f（x）=|x|
• B、f(x)=

  1

  x

• C、f（x）=2x
• D、f（x）=x²

Answer 1

分析：首先分析題目的新定義滿足：“對于區間（1，2）上的任意實數x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”，則稱f（x）為優美函數，要求選擇優美曲線．故需要對4個選項代入不等式|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|分別驗證是否成立即可得到答案．

解答：解：在區間（1，2）上的任意實數x₁，x₂（x₁≠x₂），分別驗證下列4個函數．
對于A：f（x）=|x|，|f（x₂）-f（x₁）|=||x₂|-|x₁||=|x₂-x₁|（因為故x₁和x₂大于0）故對于等于號不滿足，故不成立．
對于B：f(x)=

1

x

，|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

x1

-

1

x2

|=|

x2-x1

x1x2

|＜|x₂-x₁|（因為x₁，x₂在區間（1，2）上，故x₁x₂大于1）故成立．
對于C：f（x）=2x，|f（x₂）-f（x₁）|=2|x₂-x₁|＜|x₂-x₁|．不成立．
對于D：f（x）=x²，|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=（x₂+x₁）|x₂-x₁|＞|x₂-x₁|不成立．
故選B．

點評：此題主要考查新定義的理解和應用問題．涉及到絕對值不等式的應用．對于此類型的題目需要對題目概念做認真分析再做題．屬于中檔題目．