Question

（08年黃岡中學三模文）（本小題滿分13分）設的極小值為,其導函數的圖像是經過點開口向上的拋物線,如圖所示．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若，且過點（1，m）可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

解析：（Ⅰ），且的圖像經過點,

∴，            ∴，……（3分）

由導函數圖像可知函數在上單調遞增，在上單調遞減，

在上單調遞增， 

∴，解得 . ∴.        ……（6分）

（Ⅱ）設切點為（x₀, y₀），由題設知x₀≠1，則切線斜率可表示為和，所以，又，即，

∴，

要有三條切線，則上述關于x₀的方程應有三個不同的實數根. ……（9分）

令，則要與x軸有三個交點（且交點坐標），

即的極大值與極小值的乘積小于零，由得 或

且當和時；當時，，

∴在x₀=0, x₀=1處分別取得極大值+3和極小值+2.

由，（此時顯然有x₀=1不可能是方程的根）

故m的取值范圍是（-3，-2）.               ……（13分）