Question

兩個等差數列a_n的和b_n的前n項和分別為S_n和T_n，已知

Sn

Tn

=

5n-9

n+3

，則使a_n=tb_n成立的正整數t的個數是 ______；

Answer 1

當

5n-9

n+3

=1即n=3時，

S3

T3

=

a1+a2+a3

b1+b2+b3

=

3a2

3b2

=

a2

b2

=1，則a₂=b₂，此時t=1；
當

5n-9

n+3

=2即n=5時，

S5

T5

=

a1+a2+…+a5

b1+b2+…+b5

=

5a3

5b3

=

a3

b3

=2，則a₃=2b₃，此時t=2；
當

5n-9

n+3

=3即n=9時，

S9

T9

=

a1+a2+…+a9

b1+b2+…+b9

=

9a5

9b5

=

a5

b5

=3，則a₅=3b₅，此時t=3；
當

5n-9

n+3

=4即n=21時，

S21

T21

=

a1+a2+…+a21

b1+b2+…+b21

=

21a11

21b11

=

a11

b11

=4，則a₁₁=4b₁₁，此時t=4．
當

5n-9

n+3

≥5時，解得的n不為正整數即t也不為正整數，所以滿足題意的正整數t的個數是4
故答案為：4