Question

設(shè)復(fù)數(shù)z=x+（4-x）i（x∈R）．
（Ⅰ）若復(fù)數(shù)

z

1-i

為純虛數(shù)，求x的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，3]，使得|z|²-2m≥0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把z=x+（4-x）i代入

z

1-i

，整理為a+bi（a，b∈R）的形式由實(shí)部等于0，虛部不等于0求解x得值；
（Ⅱ）把|z|²-2m≥0變形為2m≤|z|²，代入復(fù)數(shù)z后變?yōu)閙≤（x-2）²+4，求出不等式右邊代數(shù)式在x∈[-1，3]的最大值，由m小于等于該最大值即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

z

1-i

=

x+(4-x)i

1-i

=

[x+(4-x)i](1+i)

2

=(x-2)+2i
又因?yàn)閺?fù)數(shù)

z

1-i

為純虛數(shù)，所以x-2=0，即x=2；
（Ⅱ）由|z|²-2m≥0得，2m≤|z|²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，
即m≤（x-2）²+4，
因?yàn)閤∈[-1，3]，所以當(dāng)x=-1時(shí)（x-2）²+4的最大值為13，
又因?yàn)榇嬖趚∈[-1，3]，使得|z|²-2m≥0，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤13．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的模，訓(xùn)練了分離變量法和配方法求二次函數(shù)的最值，解答此題的關(guān)鍵是把求使得|z|²-2m≥0成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍轉(zhuǎn)化為m小于等于二次三項(xiàng)式的最大值，該題是中檔題．