Question

設復數z=x+（4-x）i（x∈R）．
（Ⅰ）若復數為純虛數，求x的值；
（Ⅱ）若存在x∈[-1，3]，使得|z|²-2m≥0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為
又因為復數為純虛數，所以x-2=0，即x=2；
（Ⅱ）由|z|²-2m≥0得，2m≤|z|²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16=2（x-2）²+8，
即m≤（x-2）²+4，
因為x∈[-1，3]，所以當x=-1時（x-2）²+4的最大值為13，
又因為存在x∈[-1，3]，使得|z|²-2m≥0，
所以實數m的取值范圍是m≤13．
分析：（Ⅰ）把z=x+（4-x）i代入，整理為a+bi（a，b∈R）的形式由實部等于0，虛部不等于0求解x得值；
（Ⅱ）把|z|²-2m≥0變形為2m≤|z|²，代入復數z后變為m≤（x-2）²+4，求出不等式右邊代數式在x∈[-1，3]的最大值，由m小于等于該最大值即可得到實數m的取值范圍．
點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的模，訓練了分離變量法和配方法求二次函數的最值，解答此題的關鍵是把求使得|z|²-2m≥0成立的實數m的取值范圍轉化為m小于等于二次三項式的最大值，該題是中檔題．