Question

已知函數f（x）=

1

2

x²+1nx．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）設g（x）=f（x），求證：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導數可判斷f（x）區間[1，e]上的單調性，由單調性可得函數的最值；
（Ⅱ）當n=1時易證明；當n≥2時，對不等式左邊運用二項式定理展開，再用基本不等式即可證明；

解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x+

1

x

，
當x∈[1，e]時，f′（x）＞0，所以函數f（x）在區間[1，e]上單調遞增，
所以函數f（x）在區間[1，e]上的最大、最小值分別為f（1）、f（e），
因為f（1）=

1

2

，f（e）=

e2

2

+1，
所以函數f（x）在區間[1，e]上的最大值為

e2

2

+1，最小值為

1

2

；
（Ⅱ）當n=1時，不等式成立，
當n≥2時，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)
=

C

1 n

xn-1•

1

x

+C

2 n

xn-2•

1

x2

+…

+C

n-1 n

x•

1

xn-1

=

1

2

[C

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)

+C

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)+…

+C

n-1 n

(

1

xn-2

+xn-2)]，
由已知x＞0，所以：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥

C

1 n

+C

2 n

+…

+C

n-1 n

=2n-2．

點評：本題考查導數求函數在閉區間上的最值、二項式定理、基本不等式等，考查學生靈活運用知識分析解決問題的能力．