Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M為線段AB的中點，將△ACD沿折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示，
（Ⅰ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取AC的中點O， 連接DO，則DO⊥AC， ∵平面ADC⊥平面ABC， ∴DO⊥平面ABC， ∴DO⊥BC， 在直角梯形ABCD中，連接CM， 可得CM=AD=2，AC=BC=2， ∴AC2+BC2=AB2， ∴AC⊥BC， 又∵DO∩AC=O， ∴BC⊥平面ACD； （Ⅱ）取CD的中點N， 連接MO，NO，MN， 則MO∥BC， ∴MO⊥平面ACD， ∴MO⊥CD， ∵AD⊥CD，ON∥AD， ∴ON⊥CD， 又∵MO∩NO=O， ∴CD⊥平面MON， ∴CD⊥MN， ∴∠MNO是所求二面角的平面角， 在Rt△MON中， ， ∴MN=， ∴cos∠MNO=。