Question

如圖1，在多面體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，側棱延長后相交于E，F兩點，上、下底面矩形的長、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h。

（Ⅰ）求側面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的大小；

（Ⅱ）證明：EF∥面ABCD；

（Ⅲ）在估測該多面體的體積時，經常運用近似公式V_估=S_中截面·h來計算.已知它的體積公式是V=（S_上底面+4S_中截面+S_下底面），試判斷V_估與V的大小關系，并加以證明。

（注：與兩個底面平行，且到兩個底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面）

Answer 1

解析:

（Ⅰ）解：過B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G。

如圖所示：∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG為所求二面角的平面角.過C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H.由于相對側面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形。

∴PG=（b－d），又B₁G=h，∴tanB₁PG=（b＞d），

∴∠B₁PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan.

（Ⅱ）證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對邊，有AB∥CD，

又CD是面ABCD與面CDEF的交線，

∴AB∥面CDEF。

∵EF是面ABFE與面CDEF的交線，

∴AB∥EF。

∵AB是平面ABCD內的一條直線，EF在平面ABCD外，

∴EF∥面ABCD。

（Ⅲ）V_估＜V。

證明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估=

=［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］

=（a－c）（b－d）＞0。

∴V_估＜V。