Question

（2012•南寧模擬）已知函數f（x）=

ex(x＜0) a-1+x(x≥0)

在R上連續，若曲線y=x³在點（a，b）處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為（　　）

• A．

  32

  3

• B．18
• C．

  64

  3

• D．24+12

  3

Answer 1

分析：由函數f（x）=

ex(x＜0) a-1+x(x≥0)

在R上連續，點（a，b）在曲線y=x³上，知a=2，b=8．由y=x³，得到y=x³在點（2，8）處的切線方程為y-8=12（x-2），令x=0，得y=-16；令y=0，得x=

4

3

．由此能求出三角形的面積．

解答：解：∵函數f（x）=

ex(x＜0) a-1+x(x≥0)

在R上連續，
∴a-1+0=e⁰，即a=2．
∵點（a，b）在曲線y=x³上，
∴a=2，b=8．
∵y=x³，∴y′|x=2=3x2|x=2=12，
∴過點（2，8）處的切線方程為y-8=12（x-2），
令x=0，得y=-16；令y=0，得x=

4

3

．
∴三角形的面積S=

1

2

×|-16|×

4

3

=

32

3

．
故選A．

點評：本題考查三角形面積的求法，具體涉及到函數的連續性、導數、切線方程等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．