Question

已知圓O：x²+y²=2交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，離心率為的橢圓，其左焦點為F．若P是圓O上一點，連接PF，過原點O作直線PF的垂線交橢圓C的左準線于點Q．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切；
（3）試探究：當點P在圓O上運動時（不與A、B重合），直線PQ與圓O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因為，所以c=1
則b=1，即橢圓C的標準方程為
（2）因為P（1，1），所以，所以k_OQ=﹣2，
所以直線OQ的方程為y=﹣2x
又橢圓的左準線方程為x=﹣2，所以點Q（﹣2，4）
所以k_PQ=﹣1，又k_OP=1，所以k_OPk_PQ=﹣1，即OP⊥PQ，
故直線PQ與圓O相切
（3）當點P在圓O上運動時，直線PQ與圓O保持相切
證明：設P（x₀，y₀）（），則y₀²=2﹣x₀²，
所以，，
所以直線OQ的方程為
所以點Q（﹣2，）
所以，
又，所以k_OPk_PQ=﹣1，即OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓O相切