Question

【題目】設(shè)函數(shù)定義域?yàn)?/span>若在上單調(diào)遞減,則稱為函數(shù)的峰點(diǎn), 為含峰函數(shù).（特別地,若在上單調(diào)遞增或遞減,則峰點(diǎn)為1或0）.

對(duì)于不易直接求出峰點(diǎn)的含峰函數(shù),可通過(guò)做試驗(yàn)的方法給出的近似值,試驗(yàn)原理為:“對(duì)任意的若則為含峰區(qū)間,此時(shí)稱為近似峰點(diǎn);若則為含峰區(qū)間,此時(shí)稱為近似峰點(diǎn)”.

我們把近似峰點(diǎn)與之間可能出現(xiàn)的最大距離稱為試驗(yàn)的“預(yù)計(jì)誤差”,記為,其值為其中表示中較大的數(shù)

（Ⅰ）若求此試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差;

（Ⅱ）如何選取才能使這個(gè)試驗(yàn)方案的預(yù)計(jì)誤差達(dá)到最小?并證明你的結(jié)論（只證明的取值即可）.

（Ⅲ）選取可以確定含峰區(qū)間為或在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取,由與或與類似地可以進(jìn)一步得到一個(gè)新的預(yù)計(jì)誤差.分別求出當(dāng)和時(shí)預(yù)計(jì)誤差的最小值.（本問(wèn)只寫結(jié)果,不必證明）

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析;(3)見解析.

【解析】試題分析： 由已知，求出時(shí)，此試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差取此時(shí)試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差為，再分兩種情況討論點(diǎn)的位置，從而證明這是使試驗(yàn)誤差達(dá)到最小的試驗(yàn)設(shè)計(jì)當(dāng)時(shí)預(yù)計(jì)誤差的最小值為，當(dāng)時(shí)預(yù)計(jì)誤差的最小值為

解析：（Ⅰ）由已知得

所以

（Ⅱ）取此時(shí)試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差為

證明:分兩種情況討論,

當(dāng)時(shí),如圖所示,

如果那么

如果那么

當(dāng)

綜上,當(dāng)時(shí),

同理可得當(dāng)時(shí),

即時(shí),試驗(yàn)的預(yù)計(jì)誤差最小.

（Ⅲ）當(dāng)和時(shí)預(yù)計(jì)誤差的最小值分別為和