Question

已知函數f(x)=

9x

9x+3

，則f（0）+f（1）=

 

，若Sk-1=f(

1

k

)+f(

2

k

)+f(

3

k

)+…+f(

k-1

k

)(k≥2，k∈Z)，則S_k-1=

 

（用含有k的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）將x=0和x=1代入f（x），計算f（0）+f（1）的值．
（2）本函數中，先證明f（x）+f（1-x）=1為定值．再將S_k-1中的項分組，如f(

1

k

) 和f(

k-1

k

)，f(

2

k

) 和f(

k-2

k

)等為一組，不難看出每組自變量的和為1，即函數值的和也為1．再分組求和，計算得出S_k-1．

解答：解：f（0）=

1

4

，f（1）=

3

4

，∴f（0）+f（1）=1
又∵f（x）+f（1-x）=

9x

9x+3

+

91-x

91-x+3

=

9x

9x+3

+

3

9x+3

=1
S_k-1=f(

1

k

)+f (

2

k

)+f(

3

k

)+…f(

k-1

k

)，則
Sk-1=f(

k-1

k

)+f(

k-2

k

)+f(

k-3

k

)+…+f(

1

k

)，兩式相加．得
2S_k-1=k-1
∴Sk-1=

k-1

2

，
故答案為1，

k-1

2

．

點評：本題中，f（x）+f（1-x）=1為定值是突破口．再利用倒序相加即可求解．倒序相加是教科書中在數列求和時給出的方法．在2011安徽卷的考查中，就以此為原型，改編了一道數列題，將倒序相加類比成倒序相乘，再進行進一步解答．