Question

已知復數(shù)z=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對于任意復數(shù)z，有，|w|=2|z|．
（Ⅰ）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關系式：
（Ⅱ）將（x、y）用為點P的坐標，（x'、y'）作為點Q的坐標，上述關系式可以看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q．已知點P經(jīng)該變換后得到的點Q的坐標為，試求點P的坐標；
（Ⅲ）若直線y=kx上的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上，試求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）對式子兩邊取模，再由“|w|=2|z|”求出|z|的值，再求出m的值代入，利用共軛復數(shù)和復數(shù)乘法運算化簡，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件列出關系式；
（Ⅱ）把點Q的坐標代入（I）所得的關系式求解即可；
（Ⅲ）設出直線y=kx上的任意點P（x，y），由（I）求出Q的坐標，代入直線方程化簡，并對k進行分類：k=0和k≠0，分別求解并判斷是否是同一條直線．
解答：解：（I）由題設得，，∴|z|=2，
由，∴z=1i，
∵，
∴==，
由復數(shù)相等得，，
（Ⅱ）由（I）和題意得，，解得，
即P點的坐標為．                 
（Ⅲ）∵直線y=kx上的任意點P（x，y），
其經(jīng)變換后的點仍在該直線上，
∴，
即
∵當k=0時，y=0，不是同一條直線，
∴k≠0，
于是，
即，
解得
點評：本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的模和幾何意義，復數(shù)相等充要條件等，以及點與直線問題等，應是復數(shù)中少見的綜合題．