Question

已知p：過點M（2，1）的直線與焦點在x軸上的橢圓

x2

6

+

y2

k

=1恒有公共點，q：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示雙曲線，問：p是q的什么條件？并說明理由．

Answer 1

分析：先利用橢圓的標準方程和點在橢圓內，列不等式解得命題p中k的取值范圍，即命題p的等價命題，再利用雙曲線的標準方程求得命題q的等價命題，最后利用集合法判斷兩命題的充分必要性

解答：解：∵橢圓

x2

6

+

y2

k

=1的焦點在x軸上，∴0＜k＜6     ①
∵過點M（2，1）的直線與焦點在x軸上的橢圓

x2

6

+

y2

k

=1恒有公共點
∴點M（2，1）在橢圓

x2

6

+

y2

k

=1內或其上，即

22

6

+

12

k

≤1  ②
由①②得3≤k＜6
∴命題p等價于k∈[-3，6）
∵方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示雙曲線
∴（k-4）•（k-6）＜0⇒4＜k＜6，
∴命題q等價于k∈[4，6）
∵[-3，6）?[4，6）
∴p是q的必要不充分條件．

點評：本題主要考查了判斷命題充分必要性的方法，橢圓和雙曲線的標準方程及其應用，點與圓錐曲線的位置關系及其應用，轉化化歸的思想方法