Question

已知數列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝(－1)(a_n＋2)，n＝1，2，3，…．

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)若數列{b_n}中b₁＝2，b_n+1＝，n＝1，2，3，…，證明2＜b_n≤a₄n－3，n＝1，2，3，…．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題設： 　　an＋1＝(－1)(an＋2) 　　＝(－1)(an－)＋(－1)(2＋) 　　＝(－1)(an－)＋， 　　所以an＋1－＝(－1)(an－)． 　　所以數列{an－}是首項為2－，公比為－1的等比數列． 　　則an－＝(－1)n， 　　即an的通項公式為an＝[(－1)n＋1]，n＝1，2，3，…． 　　(2)用數學歸納法證明． 　　①當n＝1時，因＜2，b1＝a1＝2， 　　所以＜b1≤a1，結論成立． 　　②假設當n＝k時，結論成立， 　　即＜bk≤a4k－3， 　　也即0＜bk－≤a4k－3－． 　　當n＝k＋1時， 　　 　　所以 　　 　　也就是說，當n＝k＋1時，結論成立． 　　根據①②，知＜bn≤a4n－3，n＝1，2，3，…．