Question

設函數f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（m，cos2x），

b

=（1+sin2x，1），x∈R，且函數y=f（x）的圖象經過點(

π

4

，2)
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的最小值及此時x的取值集合．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由向量的數量積的坐標表示可得，f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x，由f（

π

4

）=2可求m
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)，結合正弦函數的性質可求

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

a

•

b

=m（1+sin2x）+cos2x=m+msin2x+cos2x
由已知f(

π

4

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，
∴2m=2即m=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin(2x+

π

4

)
∴當sin(2x+

π

4

)=-1時，f（x）的最小值為1-

2

此時2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ即{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示，輔助角公式在三角函數化簡中的應用，正弦函數的性質的應用，屬于基礎試題