Question

正項數列{a_n}滿足a₁=2，點A_n（

an

，

an+1

）在雙曲線y²-x²=1上，點（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+1上，其中Tn是數列{bn}的前n項和．
①求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
②設C_n=a_nb_n，證明C_n+1＜C_n
③若m-7a_nb_n＞0恒成立，求正整數m的最小值．

Answer 1

分析：①由題意知a_n=n+1，T_n=-

1

2

b_n+1，T_n-1=-

1

2

b_n-1+1，所以bn=

1

3

bn-1，由此可知bn=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

．
②由題意知cn=an•bn=(n+1)•

2

3n

，由此可知cn+1-cn=(n+2)•

2

3n+1

-(n+1)•

2

3n

=

2

3n+1

(-2n-1)＜0，所以c_n+1＜c_n．
③由{c_n}遞減而m＞7c_n恒成立，知m＞7c₁=

28

3

而m∈N^*，由此可知m的最小值為10．

解答：解：①由已知點A_n在y²-x²=1上知，a_n+1-a_n=1，
∴數列{a_n}是一個以2為首項，以1為公差的等差數列．
∴a_n=n+1
∵點（b_n，T_n）在直線y=-

1

2

x+1上
∴T_n=-

1

2

b_n+1①
∴T_n-1=-

1

2

b_n-1+1②
①②兩式相減得b_n=-

1

2

b_n+

1

2

b_n-1
∴bn=

1

3

bn-1
令n=1得b1=

2

3

∴{bn}是一個以

2

3

為首項，以

1

3

為公比的等比數列．
∴bn=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

②cn=an•bn=(n+1)•

2

3n

∴cn+1-cn=(n+2)•

2

3n+1

-(n+1)•

2

3n

=

2

3n+1

[(n+2)-3(n+1)]
=

2

3n+1

(n+2-3n-3)
=

2

3n+1

(-2n-1)＜0，
∴c_n+1＜c_n
③∵{c_n}遞減而m＞7c_n恒成立
∴m＞7c₁=

28

3

而m∈N^*
∴m的最小值為10．

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答．