Question

（2012•鄭州二模）鄭州市某廣場有一塊不規則的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環境標志，小李、小王設計的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經測量AD=BD=7米，BC=5 米，AC=8 米，∠C=∠D．
（I）求AB的長度；
（II）若環境標志的底座每平方米造價為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰的設計使建造費用最低（請說明理由），最低造價為多少？
（

3

=1.732，

2

=1.414）

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC 的值，在△ABD中，由余弦定理得cosD 的值，由∠C=∠D得 cosC=cosD，求得AB=7，從而得出結論．
（Ⅱ）小李的設計符合要求，因為由條件可得 S_△ABD＞S_△ABC，再由AD=BD=AB=7，得△ABD是等邊三角形．由此求得S_△ABC的值，再乘以5000，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC=

AC2+BC 2 -AB 2

2AC•BC

=

82+5 2-AB 2

2×8×5

．  ①…（2分）
在△ABD中，由余弦定理得cosD=

AD2+BD 2 -AB 2

2AD•BD

=

72+7 2-AB 2

2×7×7

．  ②…（4分）
由∠C=∠D得 cosC=cosD，AB=7，所以 AB長度為7米．…（6分）
（Ⅱ）小李的設計符合要求．理由如下：S_△ABD=

1

2

•AD•BD•sinD，S_△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC．
因為 AD•BD＞AC•BC，所以 S_△ABD＞S_△ABC．
故選擇△ABC建造環境標志費用較低．…（8分）
因為：AD=BD=AB=7，所以△ABD是等邊三角形，∠D=60°，
故，S_△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC=10

3

，
所以，總造價為：5000×10

3

=50000

3

．…（12分）

點評：本題主要考查余弦定理的應用，解三角形，屬于中檔題．