Question

【題目】已知關于的函數.

(1)當時，求函數在點處的切線方程；

(2)設，討論函數的單調區間；

(3)若函數沒有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）

【解析】試題分析：(1)當時，得到函數解析式，求得，得到，得出切線的斜率，再利用點斜式求解直線的方程；

(2)由題意，求出的解析式，求得，可分和兩種情況分類討論，即可求解函數的單調區間；

(3)由沒有零點，轉化為方程無解，即與兩圖象無交點，列出條件，即可求解實數的取值范圍.

試題解析：

(1)當時， ， ，

，∴，即在處的切線方程為.

(2)∵， ，當時，

在上恒成立，∴在上單調遞增；

當時，令，解得，

令，解得，∴在單調遞增，在單調遞減.

(3)∵沒有零點，

即無解，∴與兩圖象無交點，

設兩圖象相切于兩點，∴，∴， ，∵兩圖象無交點，∴.