Question

已知向量

a

=（-2，sinθ）與

b

=（cosθ，1）互相垂直，其中θ∈（

π

2

，π）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=

10

10

，

π

2

＜φ＜π，求cosφ的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量垂直的充要條件，得向量

a

、

b

的數量積為零，可得θ的一個關系式，再結合正余弦的平方和為1，可得sinθ和cosθ的值；
（2）先求出角θ-φ的正余弦的值，再用配角：φ=θ-（θ-φ））=利用兩角和與差的三角函數公式，可以求出cosφ的值．

解答：解：（1）∵

a

與

b

互相垂直，
則

a

•

b

=-2cosθ+sinθ=0，即sinθ=2cosθ，
代入sin²θ+cos²θ=1得sin 2θ=

4

5

，cos 2θ=

1

5

，
又∵θ∈ (

π

2

，π)，∴sinθ=

2 5

5

，cosθ= -

5

5

．
（2）∵

π

2

＜φ＜π，∴-

π

2

＜θ-φ＜

π

2

，
由sin（θ-φ）=

10

10

，結合同角三角函數關系得cos(θ-φ)=

3 10

10

∴cosφ=cos（θ-（θ-φ））=cosθcos（θ-φ）+sinθsin（θ-φ）=

2

2

．

點評：本題考查了和與差三角函數公式、同角三角函數的關系以及向量的數量積的計算，屬于中檔題．解題時應注意配角的技巧和求三角函數時角的范圍問題．