Question

將10個白小球中的3個染成紅色，3個染成藍色，試解決下列問題：
（1）求取出3個小球中紅球個數ξ的分布列和數學期望；
（2）求取出3個小球中紅球個數多于白球個數的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知紅球的個數是3個，得到取出3個小球中紅球個數ξ的可能值，從10個球中任取3個，實驗包含的所有事件數C₁₀³，而其中恰有K個紅球的結果數是C₃^KC₇^3-K，得到其中恰有k個紅球的概率，寫出分布列和期望．
（2）由題意知取出3個小球中紅球個數多于白球個數，包括恰好1個紅球和兩個藍球；恰好2個紅球；恰好3個紅球，分別作出三個事件的概率，這三個事件是互斥的，得到結果．

解答：解：（1）由題意知紅球的個數是3個，
∴取出3個小球中紅球個數ξ的可能值是0、1、2、3，
∵從10個球中任取3個，實驗包含的所有事件數C₁₀³，
而其中恰有K個紅球的結果數是C₃^KC₇^3-K，
∴其中恰有k個紅球的概率為
P(X=ξ)=

C k 3 C 3-k 7

C 3 10

，(k=0，1，2，3)
∴隨機變量X的分布列是

∴X的數學期望：EX=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

（2）設“取出的3個球中紅球數多于白球數”為事件A，
“恰好1個紅球和兩個藍球”為事件A₁，“恰好2個紅球”為事件A₂，
“恰好3個紅球”為事件A₃；由題意知：A=A₁∪A₂∪A₃
又P(A1)=

C 1 3 C 2 3

C 3 10

=

3

40

，P(A2)=P(X=2)=

7

40

，P(A3)=P(X=3)=

1

120

∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=

3

40

+

7

40

+

1

120

=

31

120

．

點評：一般分布列的求法分為三步：
（1）首先確定隨機變量 的取值有哪些；
（2）求出每種取值下的隨機事件的概率；
（3）列表寫出．