已知A、B、C、P為平面內四點，求證：A、B、C三點在一條直線上的充要條件是存在一對實數(shù)m、n，使
=m
+n
，且m+n=1．
A、B、C 三點共線的一個充要條件是存在 實數(shù)λ，使得
=λ
．很顯然，題設條件中向量表達式并未涉及
、
，對此，我們不妨利用
=
＋來轉化，以便進一步分析求證．
證明 充分性，由
=m
＋n
， m＋n=1， 得
＋
=m
＋n（
＋
）
=（m＋n）
＋n
=
＋n
，
∴
=n
．
∴A、B、C三點共線．
必要性:由A、B、C 三點共線知，存在常數(shù)λ，使得
=λ
，
即 +
=λ（+）．
=（λ－1）＋λ=（1－λ）
＋λ，
m=1－λ，n=λ，m＋n=1，
=m
＋n
．
練習冊系列答案
相關習題
科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（本小題滿分12分）已知向量
，
.
（1）當
∥
時，求
的值；
（2）求
在
上的值域.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
在△OAB的邊OA、OB上分別取點M、N，使|
|∶|
|=1∶3，|
|∶|
|=1∶4，設線段AN與BM交于點P，記
=
，
=
，用
，
表示向量
。
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
判斷下列命題正確的有
①向量
與
是共線向量，則
A、
B、
C、
D四點必在一直線上；
②單位向量都相等；
③任一向量與它的相反向量不相等；
④四邊形
ABCD是平行四邊形的充要條件是
＝
⑤模為0是一個向量方向不確定的充要條件；
⑥共線的向量，若起點不同，則終點一定不同.
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：解答題
（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點，已知
=、
=，試用
、
表示
和
．
（2）在△ABC中，若
=，=若P，Q，S為線段BC的四等分點，試證：
++=(+)；
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
已知
a＝（
），
b＝（
），則（ ）
| A． a⊥b | B． a∥b | C．（a＋b）⊥（a－b） |
D． a與b的夾角為 . |
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：填空題
向量
向量
則實數(shù)k等于
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
已知
是三角形的三個頂點，
，則△
為（ ）
| A．等腰三角形 | B．等腰直角三角形 |
| C．直角三角形 | D．既非等腰三角形又非直角三角形 |
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科目：高中數(shù)學
來源：不詳
題型：單選題
設A、B、C三點共線，且它們的縱坐標分別為2,5,10，則A點分
所得的比為（ ）
A.
B.
C.
D. －
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