Question

（本題滿(mǎn)分14分）
如圖，已知是棱長(zhǎng)為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．
（1）求證：四點(diǎn)共面；（4分）
（2）若點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，，垂足為，求證：平面；（4分）
（3）用表示截面和側(cè)面所成的銳二面角的大小，求．（4分

Answer 1

（1）略
（2）略
（3）；

（1）如圖，在上取點(diǎn)，使，連結(jié)， 
，則，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162735900472.gif" style="vertical-align:middle;" />，，所以四邊形，都為平行四邊形．
從而，．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162736087363.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，故四邊形是平行四邊形，
由此推知，從而．
因此，四點(diǎn)共面．
（2）如圖，，又，所以，
．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162736368494.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以為平行四邊形，從而．
又平面，所以平面．
（3）如圖，連結(jié)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162736524483.gif" style="vertical-align:middle;" />，，
所以平面，得．
于是是所求的二面角的平面角，即．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162736665572.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以
，
．
解法二：
（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，
所以，故，，共面．
又它們有公共點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面．
（2）如圖，設(shè)，則，
而，由題設(shè)得，
得．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162737070485.gif" style="vertical-align:middle;" />，，有，
又，，所以，
，從而，．
故平面．
（3）設(shè)向量截面，
于是，．
而，，得，
，解得，，所以．
又平面，
所以和的夾角等于或（為銳角）．
于是．
故．