Question

【題目】已知函數f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．

（1）設g（x）＝f′（x），求g（x）的單調區間；

（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，求證：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】（1）g（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）；（2）見解析

【解析】

（1）先得到解析式，然后對求導，分別解和，得到其單調增區間和單調減區間；（2）由題可知x1，x2是g（x）的兩零點，要證x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1＞1，只需證g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，設h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用導數證明在（0，1）上單調遞減，從而證明，即g（2﹣x1）＞g（x2），從而證明x1+x2＞2.

（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，

∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），

∴g'（x）

令g'（x）＝0，則x＝1，

∴當x＞1時，g'（x）＜0；當0＜x＜1時，g'（x）＞0，

∴g（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）；

（2）∵f（x）有兩個極值點x1，x2，

∴x1，x2是g（x）的兩零點，

則g（x1）＝g（x2）＝0，

不妨設0＜x1＜1＜x2，

∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，

∵g（x）在（1，+∞）上是減函數，

∴要證x1+x2＞2，只需證x2＞2﹣x1＞1，

只需證g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，

∵g（2﹣x1）＝ln（2﹣x1）﹣2+x1+1﹣（lnx1﹣x1+1）＝ln（2﹣x1）﹣lnx1+2x1﹣2，

令h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），

則，

∴h（x）在（0，1）上單調遞減，

∴h（x）＞h（1）＝0，g（2﹣x1）＞0成立，

即g（2﹣x1）＞g（x2）

∴x1+x2＞2．