Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=2，∠ABC=120°．M、N分別為線段AB，CD的中點，連接AN，DM交于點O，將△ADM沿直線DM翻折成△A'DM，使平面A'DM⊥平面BCD，F為線段A'C的中點．
（1）求證：ON⊥平面A'DM
（2）求證：BF∥平面A'DM；
（3）直線FO與平面A'DM所成的角．

Answer 1

分析：（1）連接MN，根據菱形的對角線互相垂直，平面A'DM⊥平面BCD，及面面垂直的性質定理可得AN⊥平面A'DM，即ON⊥平面A'DM
（2）取A'D中點E，連接EF、EM，根據中位定理及平行四邊形的判定定理可得EFBM是平行四邊形，進而根據平行四邊形的性質及線面平行的判定定理得到BF∥平面A'DM；
（3）證得A'O⊥平面ABCD后，以ON為x軸，OM為y軸，OA'為z軸建立如圖空間直角坐標系，分別求出直線FO的方向向量與平面A'DM的法向量，代入向量坐標公式，可得答案．

解答：證明：（1）連接MN，由平面幾何知AMND是菱形
∴AN⊥DM…1’
∵平面A'DM⊥平面ABCD，DM是交線，AN?平面ABCD…2’
∴AN⊥平面A'DM，
即ON⊥平面A'DM…3’
（2）取A'D中點E，連接EF、EM
∵F是A'C中點
∴EF

∥ .

.

1

2

CD…4’
又M是AB中點
∴在菱形ABCD中，BM

∥ .

.

1

2

CD
∴EF

∥ .

.

BM…5’
∴EFBM是平行四邊形
∴BF∥EM…6’
∵EM?平面A'DM，BF?平面A'DM…7’
∴BF∥平面A'DM…8’
解：（3）∵AB=2BC=2，M是AB中點
∴A'D=A'M=1
∵菱形ADNM中O是DM中點
∴A'O⊥DM
∵平面A'DM⊥平面ABCD
∴A'O⊥平面ABCD…9’
以ON為x軸，OM為y軸，OA'為z軸建立如圖空間直角坐標系，∠ADN=∠ABC=120°
在△ADN中AD=DN=1，
∴AN=

AD2+DN2-2AD•DNcos120°

=

3

同理求得DM=AD=AM=1
∴N(

3

2

，0，0)、D(0，

1

2

，0)、A′(0，0，

3

2

)
∵M是CD中點
∴C(

3

，

1

2

，0)
∵F是A'C中點
∴F(

3

2

，

1

4

，

3

4

)…11’
∵NO⊥平面A'DM
∴平面A'DM的一個法向量

ON

=(

3

2

，0，0)
∵

OF

=(

3

2

，

1

4

，

3

4

)
∴|

OF

|=

1 4 + 1 16 + 3 16

=1
設OF與平面A'DM所成的角為θ，0＜θ＜

π

2

…12’
則sinθ=|cos＜

OF

，

ON

＞|=|

OF • ON

| OF || ON |

|…13’
=

3 2 × 3 2

1× 3 2

=

3

2

∴θ=

π

3

…14’
∴直線FO與平面A'DM所成的角為

π

3

…15’

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，解答（1）（2）的關鍵是熟練掌握空間直線與平面各位位置關系的判定定理及性質，（3）的關鍵是建立空間坐標系將空間線面夾角轉化為向量夾角．