Question

已知數列{a_x}和{b_x}滿足：a=1，a1=2，a2＞0，bx=

a1aa+1

(n∈N*)．且{b_x}是以
a為公比的等比數列．
（Ⅰ）證明：a_a+2=a₁a²；
（Ⅱ）若a_3n-1+2a₂，證明數例{c_x}是等比數例；
（Ⅲ）求和：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+

1

a4

+…+

1

a2n-1

+

1

a3n

．

Answer 1

（I）證：由

bn+1

bn

=q，有

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，∴a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（II）證：∵a_n=q_n-2q²，∴a_2n-1=a_2n-3q²═a₁q^2n-2，a_2n=a_2n-2q²═a₂q^n-2，∴c_n=a_2n-1+2a_2n=a₁q^2n-2+2a₂q^2n-2=（a₁+2a₂）q^2n-2=5q^2n-2．∴{c_n}是首項為5，以q²為公比的等比數列．
（III）由（II）得

1

a2n-1

=

1

a1

q2-2n，

1

a2n

=

1

a2

q2-2n，于是

1

a1

+

1

a2

++

1

a2n

=(

1

a1

+

1

a3

++

1

a2n-1

)+(

1

a2

+

1

a4

++

1

a2n

)=

1

a1

(1+

1

q2

+

1

q4

++

1

q2n-2

)+

1

a2

(1+

1

q2

+

1

q4

++

1

q2n-2

)=

3

2

(1+

1

q2

+

1

q1

++

1

q2n-2

)．
當q=1時，

1

a1

+

1

a2

++

1

a2n

=

3

2

(1+

1

q2

+

1

q4

++

1

q2n-2

)=

3

2

n．
當q≠1時，

1

a1

+

1

a2

++

1

a2n

=

3

2

(1+

1

q2

+

1

q4

++

1

q2n-2

)=

3

2

(

1-q-2n

1-q-2

)=

3

2

[

q2n-1

q2n-2(q2-1)

]．
故

1

a1

+

1

a2

++

1

a2n

=

3 2 n，q=1 3 2 [ q2n-1 q2n-2(q2-1) ]，q≠1.