Question

已知數列{a_x}和{b_x}滿足：．且{b_x}是以
a為公比的等比數列．
（Ⅰ）證明：a_a+2=a₁a²；
（Ⅱ）若a_3n-1+2a₂，證明數例{c_x}是等比數例；
（Ⅲ）求和：…．

Answer 1

解：（I）證：由，有，∴a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（II）證：∵a_n=q_n-2q²，∴a_2n-1=a_2n-3q²═a₁q^2n-2，a_2n=a_2n-2q²═a₂q^n-2，∴c_n=a_2n-1+2a_2n=a₁q^2n-2+2a₂q^2n-2=（a₁+2a₂）q^2n-2=5q^2n-2．∴{c_n}是首項為5，以q²為公比的等比數列．
（III）由（II）得，，于是==．
當q=1時，=．
當q≠1時，==．
故
分析：（I）由，知，由此可得a_n+2=a_nq²（n∈N*）．
（II）由題意知a_2n-1=a₁q^2n-2，a_2n=a₂q^n-2，所以c_n=a_2n-1+2a_2n=5q^2n-2．由此可知{c_n}是首項為5，以q²為公比的等比數列．
（III）由題設條件得，，所以=．由此可知
點評：本題主要考查等比數列的定義，通項公式和求和公式等基本知識及基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．